f(x)= |x| Stetigkeitsbeweis < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass f(x) = |x| stetig ist! |
huhu,
ich hab keine großen Probleme mit dem [mm] \delta \varepsilon [/mm] Beweisweg, allerdings weiß ich nicht ob ich den bei dieser Funktion so richtig ansetzen kann. Daher wollte ich das Folgenkriterium mal einüben...
das lautet doch in etwa
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] f(x) = [mm] f(x_{0})
[/mm]
nur wende ich den ungern an, weil er meiner Meinung nach total elementar ist und nicht so schön verständlich für Dummies^^.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Fr 10.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass f(x) = |x| stetig ist!
> huhu,
>
> ich hab keine großen Probleme mit dem [mm]\delta \varepsilon[/mm]
> Beweisweg, allerdings weiß ich nicht ob ich den bei dieser
> Funktion so richtig ansetzen kann.
Bei dieser Funktion ists doch ganz einfach, denn
[mm] $|f(x)-f(x_0)| \le |x-x_0|$
[/mm]
> Daher wollte ich das
> Folgenkriterium mal einüben...
> das lautet doch in etwa
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] f(x) = [mm]f(x_{0})[/mm]
nein so lautet das nicht.
>
> nur wende ich den ungern an, weil er meiner Meinung nach
> total elementar ist
Tatsächlich ? .....
> und nicht so schön verständlich für Dummies^^.
........wenn Du meinst ...........
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
Folgenkriterium: f:D [mm] \to \IR [/mm] ist in [mm] x_0 \in [/mm] D stetig [mm] \gdw [/mm] für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] in D mit [mm] x_n \to x_0 [/mm] gilt: [mm] f(x_n) \to f(x_0).
[/mm]
FRED
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ah verdammt, tatsächlich
ist ja eine variante der Dreiecksungleichung
|x| - [mm] |x_{0}| \le [/mm] |x - [mm] x_{0}| [/mm]
|x - [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] soll es ja sein, aber [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] zu wählen könnte ich machen, selbst wenn Gleichheit herrscht oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ah verdammt, tatsächlich
> ist ja eine variante der Dreiecksungleichung
ja, das folgt direkt aus der Dreiecksungleichung, wenn Du das damit sagen willst.
> |x| - [mm]|x_{0}| \le[/mm] |x - [mm]x_{0}|[/mm]
Du solltest schon schreiben
[mm] $$|\;|x|-|x_0|\;| \le |x-x_0|\,.$$
[/mm]
Andernfalls solltest Du halt Fallunterscheidungen machen, etwa:
1. Fall: Sei $|x| [mm] \ge |x_0|\,.$ [/mm] Dann...
2. Fall: Sei $|x| < [mm] |x_0|\,.$ [/mm] Dann ...
> |x - [mm]x_{0}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] soll es ja sein, aber [mm]\delta[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm] zu wählen könnte ich machen, selbst wenn
> Gleichheit herrscht oder?
Natürlich. Für [mm] $x=x_0$ [/mm] ist ja dann [mm] $|x-x_0|=|x_0-x_0|=0 [/mm] < [mm] \delta=\varepsilon\,.$
[/mm]
Schreibe aber doch mal das ganze mit Folgenkriterium hin. Du musst dazu dann doch nur wissen:
Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine reellwertige (bzw. komplexwertige) Folge mit Grenzwert $a [mm] \in \IR$ [/mm] (bzw. $a [mm] \in \IC$), [/mm] dann konvergiert [mm] $(|a_n|)_n$ [/mm] gegen ??? ? Na?
Und nun die [mm] $1000\,$-Drachmen-Frage: [/mm] Wie beweist man den letzten Satz [mm] ($a_n \to [/mm] a [mm] \Rightarrow |a_n| \to \text{???}$, [/mm] wenn man die drei ? entsprechend ersetzt hat) wohl?
Gruß,
Marcel
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[mm] a_n \to [/mm] a [mm] \Rightarrow |a_n| \to [/mm] |a| ?^^
wenns stimmt, ist das alles was man hinschreiben muss mit diesem Kriterium? das ist mein Problem: Das ausführliche mit 1,2 Rechenschritten mit [mm] \varepsilon [/mm] , [mm] \delta [/mm] ist für mich persönlich viel eher ein Beweis als diese Folgerung ohne Kommentar. Als Korrekteur würd ich das nich durchgehen lassen^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]a_n \to[/mm] a [mm]\Rightarrow |a_n| \to[/mm] |a| ?^^
> wenns stimmt, ist das alles was man hinschreiben muss mit
> diesem Kriterium?
ja. Einzige Voraussetzung: [mm] $a_n \to [/mm] a [mm] \Rightarrow |a_n| \to [/mm] |a|$ muss schonmal bewiesen worden sein. Ich würde das zum Beispiel so hinschreiben:
Zu zeigen ist, dass $f(x):=|x|$ stetig ist (als Funktion [mm] $\IR \to \IR$). [/mm] Sei [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest, und wir wollen die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] begründen. Wegen ![[]](/images/popup.gif) Satz 10.7b reicht es, zu zeigen:
Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] irgendeine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0\,,$ [/mm] so folgt schon [mm] $|x_n| \to |x_0|\,.$
[/mm]
Sei also [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eben irgendeine solche gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergente Folge. Und jetzt sehe ich gerade, dass mein Prof. eben einen solch elementaren Satz [mm] $a_n \to [/mm] a [mm] \Rightarrow |a_n| \to [/mm] |a|$ in Kapitel 5 nicht aufgeschrieben hatte. Also beweisen wir das mal mit Fallunterscheidung (man kann das auch direkt mit der von Fred erwähnten Ungleichung [mm] $|\;|a_n|-|a|\;| \le |a_n-a|$ [/mm] direkt sehen):
Sei also $a [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest, und gelte [mm] $a_n \to [/mm] a$ (sowohl [mm] $a_n$ [/mm] als auch [mm] $a\,$ [/mm] sollen alle in [mm] $\IR$ [/mm] sein).
1. Fall: Sei $a [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann sind fast alle (also alle bis auf endlich viele) [mm] $a_n [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Also gilt für genügend große [mm] $n\,$ [/mm] auch [mm] $|a_n|=a_n$ [/mm] und damit [mm] $|a_n| \to a=|a|\,.$
[/mm]
2. Fall: Sei $a [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a < [mm] 0\,.$ [/mm] Dann sind fast alle [mm] $a_n [/mm] < [mm] 0\,.$ [/mm] Sei $N [mm] \in \IN$ [/mm] also so, dass [mm] $a_n [/mm] < 0$ für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Dann gilt für alle $n [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $$|a_n|=-a_n=a_n*(-1)\,,$$
[/mm]
so dass wegen Satz 5.5b) folgt
[mm] $$|a_n| \to -a=|a|\,.$$
[/mm]
3. Fall: [mm] $a=0\,.$ [/mm]
O.E. nehmen wir an, dass sowohl für unendlich viele [mm] $n\,$ [/mm] gilt, dass [mm] $a_n \ge 0\,,$ [/mm] als auch für unendlich viele [mm] $n\,,$ [/mm] dass [mm] $a_n [/mm] < 0$ ist. Hier muss man dann noch ein wenig weiterargumentieren (das geht auch, kann ich auch, aber das kannst Du ja auch mal selbst versuchen)...
> das ist mein Problem: Das ausführliche
> mit 1,2 Rechenschritten mit [mm]\varepsilon[/mm] , [mm]\delta[/mm] ist für
> mich persönlich viel eher ein Beweis als diese Folgerung
> ohne Kommentar.
Richtig. Kommentarlos sollte man das nicht hinschreiben - aber man darf es hinschreiben, wenn es halt für Folgen schonmal bewiesen worden ist. Zum Beispiel: "Wie in Übungsaufgabe 5 bewiesen worden ist, folgt aus [mm] $a_n \to [/mm] a$ sofort [mm] $|a_n| \to |a|\,.$"
[/mm]
> Als Korrekteur würd ich das nich
> durchgehen lassen^^
Das verstehe ich insofern, als dass man natürlich nicht sagen kann: "Es genügt zu zeigen, dass [mm] $A\,$ [/mm] eine wahre Aussage ist, und [mm] $A\,$ [/mm] ist wahr..." Man muss schon begründen, warum [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist, oder sich darauf berufen, dass man schonmal bewiesen hat, dass [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist. Oben etwa:
Wegen [mm] $|\;|a_n|-|a|\;| \le |a_n [/mm] -a|$ gilt
[mm] $$a_n [/mm] -a [mm] \to [/mm] 0 [mm] \Rightarrow |a_n|-|a| \to 0\,,$$
[/mm]
also liefert [mm] $a_n \to [/mm] a$ auch [mm] $|a_n| \to |a|\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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hui^^
danke Marcel für die beiden Postings. Ich denke ich habs soweit verstanden. Nur zum Zeigen, dass
g(0) = 10 , sonst g(x) = [mm] x^2
[/mm]
Reicht, da wenn ich mir die Folge [mm] a_{n} [/mm] = x , x [mm] \in \IR [/mm] anschaue, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] g(0) = 0 [mm] \not= [/mm] 10 = [mm] g(x_{0}) [/mm]
ist? wenn ja ist der Beweis der Unstetigkeit mit dem Folgenkriterium ganz gut.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Evelyn,
> hui^^
>
> danke Marcel für die beiden Postings. Ich denke ich habs
> soweit verstanden. Nur zum Zeigen, dass
>
> g(0) = 10 , sonst g(x) = [mm]x^2[/mm]
>
> Reicht, da wenn ich mir die Folge [mm]a_{n}[/mm] = x , x [mm]\in \IR[/mm]
> anschaue, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] g(0) = 0 [mm]\not=[/mm] 10 = [mm]g(x_{0})[/mm]
>
> ist?
Du meinst sicher was anderes! Mit [mm] $a_n=1/n$ [/mm] wäre zum Beispiel eine geeignete Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegeben, die [mm] $g(a_n) \not\to [/mm] g(0)$ erfüllt! [mm] ($a_n=x$ [/mm] heißt ja: [mm] $a_n=x$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] das wäre "die konstante [mm] $x\,$-Folge").
[/mm]
> wenn ja ist der Beweis der Unstetigkeit mit dem
> Folgenkriterium ganz gut.
Was Du hinschreiben könntest, und das würde dann zu dem passen, was Du oben vielleicht meintest:
[mm] $$\lim_{x \to 0}g(x)=0\,,$$
[/mm]
weil für jede NULLFOLGE [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n \not=0$ [/mm] (für alle [mm] $n\,$) [/mm] gilt
[mm] $$g(x_n)=x_n^2$$
[/mm]
und daher gilt die Folgerung
$$[0 [mm] \not=x_n \to [/mm] 0] [mm] \Rightarrow [g(x_n)=x_n^2 \to 0^2=0]$$
[/mm]
(etwa unter Verwendung von Satz 5.5b).
Daher gilt (mit [mm] $x_0:=0$) [/mm] NICHT [mm] $\lim_{x \to x_0}g(x)=g(0)=10\,,$ [/mm] also ist [mm] $g\,$ [/mm] unstetig in [mm] $x_0=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Zeige, dass f(x) = |x| stetig ist!
> > huhu,
> >
> > ich hab keine großen Probleme mit dem [mm]\delta \varepsilon[/mm]
> > Beweisweg, allerdings weiß ich nicht ob ich den bei dieser
> > Funktion so richtig ansetzen kann.
>
>
> Bei dieser Funktion ists doch ganz einfach, denn
>
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)| \le |x-x_0|[/mm]
>
>
> > Daher wollte ich das
> > Folgenkriterium mal einüben...
> > das lautet doch in etwa
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] f(x) = [mm]f(x_{0})[/mm]
>
> nein so lautet das nicht.
manchmal schon, wenn man etwa Definitionen wie Definition 10.4 benutzt. (Ich selbst hätte an dieser Stelle auch eher [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] mit [mm] $\epsilon-\delta$ [/mm] definiert.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 So 12.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Hallo Fred,
> Hallo Marcel,
> von [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}f(x) [/mm] zu sprechen ist nur dann sinnvoll,
> wenn [mm] x_0 [/mm] Häfungspunkt des Def.-bereiches von f ist.
> Ist [mm] x_0 [/mm] ein isolierter Punkt des Def.-bereiches von f , so lässt sich die
> Stetigkeit von f in [mm] x_0 [/mm] nicht durch
> [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}f(x) =f(x_0)
[/mm]
> charakterisieren.
ich wollte nur darauf hinweisen, dass ein Ausdruck der Form
[mm] $$\lim_{x \to x_0}f(x)$$
[/mm]
auch so definiert werden kann, dass man sagt: "Für alle Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] aus dem Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] mit der Eigenschaft ... gilt, dass ..." (wobei ich das trotzdem auch dann lieber, weil es dann halt mit dem "normalen Gebrauch der Symbolik im Einklang stünde", dieses Symbol lieber mit [mm] $\epsilon-\delta$ [/mm] definiert gesehen hätte).
Ich denke aber, dass mein Prof. das Symbol [mm] "$\lim_{x \to x_0}f(x)$" [/mm] schon vollständig korrekt definiert hatte - auch, wenn er es "mit Folgen" definiert hatte. Oder gibt es da was im Skript zu bemängeln? (Das wäre schon wichtig, denn dann sollte man einen Korrekturhinweis hinschicken, was ich machen würde!)
Ob Evelyn da nun wirklich mithilfe dieser Definition dann die Stetigkeit charakterisiert hatte - das müßte ich nochmal nachlesen. Vermutlich nicht: Daher Dein Hinweis, nehme ich an. Ich habe es nicht ganz zu Ende gedacht, ob das, was Evelyn da geschrieben hatte, auch wirklich passt - gestehe ich. Ich wollte nur auf die erwähnte "Folgendefinition" hinweisen ^^
P.S.:
Nun habe ich's nochmal gelesen und Du hast natürlich Recht: Evelyns Aussage ist keine "Charakterisierung" der Stetigkeit. Das, was Du erwähntest, steht ja im Skript explizit in Satz 10.7 c). Aber wie gesagt: Ich habe mir bei dem Hinweis eigentlich etwas anderes gedacht, auf das ich aufmerksam machen wollte. Dennoch Danke für den genauen Hinweis: Ich bin sicher, ansonsten hätte meine Aussage viele verwirrt, weil ich halt dazuschreiben hätte sollen, was der eigentliche Inhalt meiner Aussage sein soll ^^
Gruß,
Marcel
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moin,
Das was Fred genannt hat ist das klassische Folgenkriterium.
Es gibt aber eine schöne Folgerung daraus, mit der sich (meiner Meinung nach^^) leichter rechnen lässt:
$f : D [mm] \to \IR$ [/mm] ist stetig in [mm] $x_0 \in [/mm] D$ genau dann wenn [mm] $\limes_{x \to x_0} [/mm] f(x) = [mm] f(x_0)$.
[/mm]
Und zur Verständnisfrage:
Du kannst es dir wie das [mm] $\epsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] veranschaulichen:
Gehst du mit deinem $x$-Wert beliebig nahe an [mm] $x_0$ [/mm] ran (limes), so muss auch der Funktionswert nahe an den Funktionswert von [mm] $x_0$ [/mm] rangehen.
Du kannst es dir auch mit linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert veranschaulichen, denn der Grenzwert existiert (wie du hoffentlich weißt) genau dann, wenn der rechtsseitige und der linksseitige existieren und übereinstimmen.
Läufst du also von unten gegen [mm] $x_0$ [/mm] und betrachtest die Folge der Funktionswerte und läufst du von oben gegen, so müssen sie im Grenzwert den gleichen Wert ergeben, und dieser muss auch gleich [mm] $f(x_0)$ [/mm] sein.
Das ist in etwa das klassische, aus der Schule bekannte "man kann den Graphen durchzeichnen".
Allerdings ist das ganze nur für dich zum Veranschaulichen des Sachverhalts, es ist kein mathematisch korrekter Beweis obiger Aussage (so gibt es zB. stetige Funktionen, die man nicht "durchzeichnen" kann).
Ich würde dir drigend raten bei Zeiten (früh genug vor der Klausur) auch das Folgenkriterium oder eine ähnliche Beweismethode für Stetigkeit (wie zB. meine von oben - jenachdem was dir eher liegt) zu verinnerlichen, denn es gibt Funktionen bei denen es sehr nervig ist, Stetigkeit mit [mm] $\epsilon$-$\delta$ [/mm] zu beweisen, die man aber mit Folgenkriterium recht schön in den Griff bekommt (wie etwa stückweise definierte Funktionen).
lg
Schadow
PS: Wenn es elementar aber schwer verständlich ist dann würde mich doch mal interessieren, wie genau du "elementar" definierst.^^
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hey
ja das mit dem linksseitigen = rechtsseitigen Grenzwert ist mir geläufig, allerdings find ich einfach nicht, dass das Folgenkriterium so wirklich einen beweis liefert..
als Beispiel: f(x) = [mm] x^2
[/mm]
ist stetig. den [mm] \delta \varepsilon [/mm] beweis davon hab ich drauf. Wie argumentiert man hier mit dem Folgenkriterium?
ich kann schreiben:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} x^2 [/mm] = [mm] x_{0}^2
[/mm]
das wäre aber für mich kein "Beweis"...
wie beweise ich es hierdurch?
oder halt meine Funktion f(x) = |x|
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] |x| = [mm] |x_{0}|
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Evelyn,
> hey
>
> ja das mit dem linksseitigen = rechtsseitigen Grenzwert ist
> mir geläufig, allerdings find ich einfach nicht, dass das
> Folgenkriterium so wirklich einen beweis liefert..
>
> als Beispiel: f(x) = [mm]x^2[/mm]
>
> ist stetig. den [mm]\delta \varepsilon[/mm] beweis davon hab ich
> drauf. Wie argumentiert man hier mit dem Folgenkriterium?
der Sinn des Folgenkriteriums ist es natürlich, alles, was man "von Folgen weiß (bereits bewiesen hat)", dabei zu verwenden!
> ich kann schreiben:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} x^2[/mm] = [mm]x_{0}^2[/mm]
>
> das wäre aber für mich kein "Beweis"...
Ist es auch nicht. Das ist nur eine Umformulierung der Behauptung. Das beweist man so:
Sei [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest, und sei [mm] $(x_n)_n$ [/mm] (irgend-) eine reelle Folge mit der Eigenschaft, dass [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] gelte. Zu zeigen ist, dass dann schon [mm] $f(x_n) \to f(x_0)$ [/mm] folgt, bzw. genauer anders gesagt: Wir müssen [mm] $f(x_n)=x_n^2 \to f(x_0)=x_0^2$ [/mm] zeigen.
Weil [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] gilt und bekanntlich für reellwertige gegen $a [mm] \in \IR$ [/mm] konvergente Folgen [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gilt
[mm] $$a_n \to [/mm] a [mm] \Rightarrow (a_n)^2 \to a^2\,,$$
[/mm]
gilt die Folgerung
[mm] $$x_n^2 \to x_0^2\,,$$
[/mm]
was zu zeigen war.
> wie beweise ich es hierdurch?
>
> oder halt meine Funktion f(x) = |x|
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] |x| = [mm]|x_{0}|[/mm]
Vielleicht wird's klarer, wenn wir mal die Funktion $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] "so verändern, dass sie unstetig wird":
Sei [mm] $g(0):=10\,$ [/mm] und [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] (für $x [mm] \not=0$) [/mm] wobei $g: [mm] \IR \to \IR\,.$
[/mm]
Angenommen, [mm] $g\,$ [/mm] wäre stetig in [mm] $x_0=0\,.$ [/mm] Dann müsste für alle Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n \in \IR$ [/mm] und [mm] $x_n \to [/mm] 0$ auch gelten, dass [mm] $g(x_n) \to g(x_0)=10$ [/mm] folgen würde.
Es reicht also, eine Folge [mm] $(r_n)_n$ [/mm] mit [mm] $r_n \in \IR$ [/mm] und [mm] $r_n \to [/mm] 0$ zu finden, die [mm] $r_n \not\to [/mm] 10=g(0)$ erfüllt. Kannst Du so eine angeben?
(P.S.: Natürlich kann man auch Folgen [mm] $(s_n)_n$ [/mm] mit [mm] $s_n \in \IR$ [/mm] und [mm] $s_n \to [/mm] 0$ angeben, so dass [mm] $s_n \to g(0)=10\,$ [/mm] konvergiert: Das sind nämlich gerade die Nullfolgen, wo alle bis auf endlich viele Folgenglieder [mm] $=0\,$ [/mm] sind. Der Punkt ist halt: Eben NICHT JEDE Nullfolge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] erfüllt hier [mm] $g(x_n) \to g(0)\,.$)
[/mm]
P.P.S.:
Andere Beispiele (dabei [mm] $f_1:\IR \to \IR$ [/mm] und [mm] $f_2: [0,\infty) \to \IR$):
[/mm]
[mm] $f_1(x):=x^7+x^3$ [/mm] ist stetig. Beweis durch Folgenkriterium erfolgt, indem man ausnutzt, dass [mm] $x_n \to x_0 \Rightarrow x_n^m \to x_0^m$ [/mm] für jedes $m [mm] \in \IN\,$ [/mm] (insbesondere gilt das, und mehr brauchen wir ja nicht, für [mm] $m=3\,$ [/mm] bzw. [mm] $m=7\,$) [/mm] und weil Summen konvergenter Folgen Gegen die Summe der Grenzwerte konvergiert.
Ob [mm] $f_2(x):=x^x$ [/mm] (mit [mm] $0^0:=1$) [/mm] stetig ist, ist (erstmal) nicht so klar. Was müsste man zeigen? Wenn [mm] $x_0 \in [0,\infty)$ [/mm] beliebig, aber fest ist, dann wäre zu begründen, dass, bzw. warum, dann auch (alle [mm] $x_n$ [/mm] seien in [mm] $D_{f_2}=[0,\infty)$)
[/mm]
[mm] $$x_n^{x_n} \to {x_0}^{x_0}$$
[/mm]
gilt. Das letzteres gilt ist jetzt "nicht ganz so elementar" (insbesondere der Fall [mm] $x_0=0\,$ [/mm] wird dann mit de l'Hospital meist behandelt).
(Übrigens ist [mm] $f_2$ [/mm] in der Tat stetig. Für Stellen [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] folgt das durch umschreiben, und dann Ausnutzung, dass [mm] $\exp(\cdot): \IR \to \IR$ [/mm] und [mm] $\ln(\cdot): (0,\infty) \to \IR$ [/mm] stetig sind, und für [mm] $x_0=0$ [/mm] habe ich schon geschrieben, wie man das folgern kann. Daher gilt in der Tat auch das "Folgenkriterium" $0 [mm] \le x_n \to x_0 \Rightarrow x_n^{x_n} \to {x_0}^{x_0}\,-$ [/mm] denn in metrischen Räumen sind "Stetigkeit und Folgenstetigkeit" äquivalent.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Mo 13.02.2012 | | Autor: | davux |
Hallo Evelyn,
ein sehr informativer Thread. Ich wollte auch noch meinen Senf dazugeben, weil ich gerade die passende Stelle aus meinen Skript vor mir habe. Bei uns war die Stetigkeit der Betragsfunktion ein eigenständiger Satz in der Vorlesung.
Nach der Definition von Stetigkeit haben wir mehrere Beispiele bekommen. Da wären unter anderem die konstante Funktion $f: [mm] \IR\to\IR,\,f(x):=c\in\IR$ [/mm] und die die identische Funktion [mm] $I_\IR:\IR\to\IR,\,I_\IR(x):=x$ [/mm] zu nennen. Beim Beweis des Satzes über die Betragsfunktion wurde dann wie folgt argumentiert:
Sei [mm] $a\in\IR$. [/mm] Für $a>0$ und $a<0$ stimmt die Betragsfunktion in einer Umgebung um a mit [mm] I_\IR [/mm] bzw. [mm] $-I_\IR$ [/mm] überein, und ist somit stetig in a.
Für $a=0$ gilt: Ist [mm] $(x_n)$ [/mm] eine Nullfolge, so ist der
[mm] $lim(abs(x_n))=lim |x_n|=0=abs(0)$.
[/mm]
Also ist die Betragsfunktion stetig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Evelyn,
>
> ein sehr informativer Thread. Ich wollte auch noch meinen
> Senf dazugeben, weil ich gerade die passende Stelle aus
> meinen Skript vor mir habe. Bei uns war die Stetigkeit der
> Betragsfunktion ein eigenständiger Satz in der Vorlesung.
eine Bemerkung oder als Beispiel hätte das gereicht!
> Nach der Definition von Stetigkeit haben wir mehrere
> Beispiele bekommen. Da wären unter anderem die konstante
> Funktion [mm]f: \IR\to\IR,\,f(x):=c\in\IR[/mm] und die die
> identische Funktion [mm]I_\IR:\IR\to\IR,\,I_\IR(x):=x[/mm] zu
> nennen.
Die im übrigen in ganz trivialer Weise auch gleichmäßig stetig sind!
> Beim Beweis des Satzes über die Betragsfunktion
> wurde dann wie folgt argumentiert:
>
> Sei [mm]a\in\IR[/mm]. Für [mm]a>0[/mm] und [mm]a<0[/mm] stimmt die Betragsfunktion in
> einer Umgebung um a mit [mm]I_\IR[/mm] bzw. [mm]-I_\IR[/mm] überein, und ist
> somit stetig in a.
Da braucht man aber sowas wie, dass Einschränkungen stetiger Funktionen stetig sind (was auch trivial ist).
> Für [mm]a=0[/mm] gilt: Ist [mm](x_n)[/mm] eine Nullfolge, so ist der
> [mm]lim(abs(x_n))=lim |x_n|=0=abs(0)[/mm].
Hier benutzt man dann [mm] $x_n \to [/mm] 0 [mm] \Rightarrow |x_n| \to 0\,.$ [/mm] Wie beweist man das? Etwa durch Verwendung solch' einer Ungleichung
[mm] $$|\;|x_n|-\underbrace{0}_{=|0|}\;| \le |\;\;|x_n-0|\;\;|=|x_n-0|\,.$$
[/mm]
(Also die "spezielle Dreiecksungleichung" [mm] $|\;\;|a|-|b|\;\;| \le |a-b|\,.$)
[/mm]
> Also ist die
> Betragsfunktion stetig.
Das ist im Endeffekt auch nichts anderes gewesen wie der Beweis durch Unterscheidung der Fälle $a < [mm] 0\,,$ [/mm] $a > [mm] 0\,$ [/mm] und [mm] $a=0\,.$ [/mm] Man nutzt nur hier spezielles Vorwissen aus. (Wenn man alles zusammenbastelt, gibt's da nichts wirklich neues.)
P.S.:
Ist keine bösgemeinte Kritik meinerseits.
P.P.S.:
Man kann übrigens bei vielen einfachen Funktionen wie [mm] $|\cdot|\,,$ $\sin(\cdot)\,,$ [/mm] konstante Funktionen, "Funktionen, die durch Geradengleichungen beschrieben werden" in sehr einfacher Weise auch direkt deren glm. Stetigkeit beweisen. Und in vielen solcher Fällen kann man das "quasi irgendwann im Kopf beweisen", also ohne es explizit hinzuschreiben! (Bei Funktionen etwa der Form $x [mm] \mapsto a*\sin(b*x+c)$ [/mm] sollte man anfangs schon lieber alles genau aufschreiben - wobei das genaue Aufschreiben eigentlich eh wenigstens immer einmal passiert sein sollte. Man blickt dann einfach besser durch und merkt auch, wo eigentlich die wesentlichen Punkte in der Argumentation liegen!)
Gruß,
Marcel
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